Application des propriétés algébriques pour le calcul d'un argument - Corrigé

Énoncé

Déterminer un argument de `z_0=\frac{\sqrt{3}+i}{3i}`  .

Solution
On a :  \(\arg\left(\dfrac{\sqrt{3}+i}{3i}\right) \equiv \arg\left(\sqrt{3}+i\right)-\arg(3i) \ [2\pi]\) .
D'une part,  \(\left\vert \sqrt{3}+i \right\vert =\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} =\sqrt{3+1} =\sqrt{4} =2 .\)

Soit `\theta` un argument de `\sqrt{3}+i` . On a alors :
\(\left\lbrace \begin{array}{l} \cos\theta =\dfrac{\sqrt{3}}{2} =\cos\dfrac{\pi}{6} \\ \sin\theta =\dfrac{1}{2} =\sin\dfrac{\pi}{6} \end{array} \right.\)
donc \(\theta \equiv \dfrac{\pi}{6} \ [2\pi]\) .

D'autre part, \(3i \in i\mathbb{R}\) et donc un argument de  `2i` est `\frac{\pi}{2}` .

Par conséquent :
\(\begin{align*} \arg\left(\frac{\sqrt{3}+i}{3i}\right) \equiv \frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2} \equiv \frac{\pi}{6}-\frac{3\pi}{6} \equiv \frac{-2\pi}{6} \equiv \frac{-\pi}{3} \ [2\pi]. \end{align*}\)